2015 미적분 II 기출문제 01. 지수함수와 로그함수

2015 미적분 II 기출문제 정답률 20~60%

01. 지수함수와
로그함수

01

* 출처 : 2015년 11월 고2 전국연합 수학 가형
* 영역 : 미적분2 | 지수함수와 로그함수 | 지수함수와 로그함수의 미분 | 로그함수의 극한
* 정답률 : 39%

곡선 $y=\ln (x+1)$ 위를 움직이는 점 $P(a,b)$ 가 있다. 점 $P$ 를 지나고 기울기가 $-1$ 인 직선이 곡선 $y=e^x-1$ 과 만나는 점을 $Q$ 라 하자. 두 점 $P$, $Q$ 를 지름의 양 끝 점으로 하는 원의 넓이를 $S(a)$, 원점 $O$ 와 선분 $PQ$ 의 중점을 지름의 양 끝 점으로 하는 원의 넓이를 $T$ 라 할 때, $\lim \limits_{n\rightarrow 0+} \frac{4T(a)-S(a)}{\pi a^2}$ 의 값은? (단, a > 0)

정답

$\lim \limits_{n\rightarrow \infty} \frac{4T(a)-S(a)}{\pi a^2} = 2$

02

* 출처 : 2015년 7월 고3 전국연합 수학 A형 
* 영역 : 미적분2 | 지수함수와 로그함수 | 로그함수 | 로그함수의 뜻과 그래프 
* 정답률 : 30%

그리과 같이 세 로그함수 $f(x)=k \log x$, $g(x)=k^2 \log x$, $h(x)=4 k^2 \log x$의 그래프가 있다. 점 $P(2,0)$을 지나고 $y$축에 평행한 직선이 두 곡선 $y=g(x)$, $y=h(x)$와 만나는 점의 $y$ 좌표를 각각 $p$, $q$라 하자. 직선 $y=p$와 곡선 $y=f(x)$가 만나는 점을 $Q(a,p)$, 직선 $y=q$와 곡선$y=g(x)$가 만나는 점을 $R(b,q)$라 하자. 세 점 $P$, $Q$, $R$가 한 직선 위에 있을 때, 두 실수 $a$, $b$의 곱 $ab$의 값을 구하시오. (단, $k>1$)

정답

$ab=88$

03

* 출처 : 2015년 3월 고3 전국연합 수학 A형 
* 영역 : 미적분2 | 지수함수와 로그함수 | 로그함수 | 로그함수의 뜻과 그래프 
* 정답률 : 56%

그림과 같이 직선 $y=-x+a$가 두 곡선 $y=2^x$, $y=\log_2 x$와 만나는 점을 각각 $A$, $B$라 하고, $x$축과 만나는 점을 $C$라 할 때, 점 $A$, $B$, $C$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $AB:BC=3:1$
(나) 삼각형 $OBC$의 넓이는 $40$이다.

점A의 좌표를 $A(p,q)$라 할 때, $p+q$의 값은? (단, $O$는 원점이고, $a$는 상수이다.)

정답

$p+q=20$

004

* 출처 : 2015년 11월 고3 수능 수학A형     
* 영역 : 미적분2 | 지수함수와 로그함수 | 로그함수 | 로그함수의 실생활의 활용     
* 정답률 : 50%

어느 금융상품에 초기자산 $W_0$을 투자하고 $t$년이 지난시점에서의 기대자산 $W$가 다음과 같이 주어진다고 한다.

$W = \dfrac{W_0}{2} 10^{at} (1 + 10^{at})$

(단, $W_0 > 0$, $t \geq 0$이고, $a$는 상수이다.)

이 금융상품에 초기자산 $w_0$을 투자하고 15년이 지난시점에서의 기대자산은 초기자산의 3배이다.이 금융상품에 초기자산 $w_0$을 투자하고 30년이 지난 시점에서의 기대자산이 초기자산의 $k$배 일 때, 실수 $k$의 값은? (단, $w_0 > 0$)

정답

$k=10$

05

* 출처 : 2015년 4월 고3 전국연합 수학 A형 
* 영역 : 미적분2 | 지수함수와 로그함수 | 로그함수 | 로그함수의 뜻과 그래프 
* 정답률 : 45%

자연수 $n$에 대하여 그림과 같이 세 곡선 $y=\log_2 x +1$, $y=\log_2 x$, $y=\log_2 (x-4^n)$이 직선 $y=n$과 만나는 세 점을 각각 $A_n$, $B_n$, $C_n$이라 하자. 두 삼각형 $A_n O B_n$, $B_n O C_n$의 넓이를 각각 $S_n$, $T_n$이라 할 때, $\dfrac{T_n}{S_n}=64$를 만족시키는 $n$의 값을 구하시 오. (단, $O$는 원점이다.)

정답

$n=5$

06

* 출처 : 2015년 4월 고3 전국연합 수학 B형 
* 영역 : 미적분2 | 지수함수와 로그함수 | 지수함수와 로그함수의 미분 | 지수함수의 도함수 
* 정답률 : 32%

함수 $f(x) = \begin{cases} (x-2)^2 e^x + k & (x\geq 0) \\ -x^2 & (x<0) \end{cases}$ 에 대하여 함수 $g(x)=|f(x)|-f(x)$가 만족하도록 하는 정수 $k$의 개수는?

(가) 함수 $g(x)$는 모든 실수에서 연속이다.
(나) 함수 $g(x)$는 미분가능하지 않은 점이 $2$개다. 

정답

$k=3$

C2-01-지수함수와 로그함수.pdf

[문제 출처: EBS모의고사 기출문제, 정답률: ETOOS(이투스)]