도함수 활용 함수의 증가와 감소 분수함수 그래프

[문제]

함수 \(f(x) = 4x - x^2 -a \ln x\) 가 구간 \((0, \infty)\) 에서 감소하도록 하는 상수 \(a\) 의 최솟값은?

[풀이]

함수가 감소하기 위해선 미분계수가 \(0\) 보다 작아야 한다. 따라서 구간 \((0,\infty)\) 에서 \(f'(x) \leq 0\) 가 되는 \(a\) 의 범위를 구하면 된다.

\[\begin{align*}f'(x) &= 4-2x-\dfrac{a}{x}\\ &= \dfrac{-2x^2+4x-a}{x}\end{align*}\]

이다. 구간 \(x>0\) 에 대하여 \(f'(x)\leq0\) 되기 위해선 분모 이차식 \(-2x^2+4x-a \leq 0\) 이 되어야 한다.

\(-2x^2+4x-a = -2(x-1)^2-a+2\) 이므로 \(x=1\) 을 대칭 축으로 가진다. 따라서 이차식이 두개의 해를 가지면 \(x=1\)에 대칭이 되는 해를 가진다. 그러면 \(x>0\) 구간에서 이차식이 양수가 되기 때문에, 이차식은 두개의 해를 가지면 안된다.

그러므로 판별식 \(b^2-4ac = 16-8a \leq 0\) 이므로 \(a \geq 2\)

\(y = (4-2x) - \dfrac{a}{x} = \dfrac{-2x^2+4x-a}{x}\) 의 그래프에 대해여 생각해보자.

주어진 함수 식이 분수식 이므로 함수의 그래프 개형은 분수함수 \(y=\dfrac{k}{x}\) 와 비슷하다.

만약 \(a = 0\) 이면

\(y = (4-2x)\) 이므로 일차함수 이다.

\(y = (4-2x) - \dfrac{a}{x}\) 의 그래프

만약 \(a > 0\) 이면

\(y = (4-2x)\) 일차함수에서 \(y = \dfrac{a}{x}\) 분수함수의 빼기 이다. 또한 분수함수 이기 때문에 \(x \neq 0\) 이므로 \(x=0\) 과 \(y=4-2x\) 을 점근선으로 가진다.

\(x<0\) 이면 \(\dfrac{a}{x}\) 이 음수이기 때문에, 일차함수에서 음수를 빼는 값이 되므로, 함수의 그래프는 점근선 \(y=4-2x\) 위에 그려진다.

또한 \(x>0\) 이면 \(\dfrac{a}{x}\) 이 양수이기 때문에, 일차함수에서 양수를 빼는 값이 되므로, 함수의 그래프는 점근선 \(y=4-2x\) 아래 그려진다.

만약 \(a < 0\) 이고

\(x<0\) 이면 \(\dfrac{a}{x}\) 이 양수이기 때문에, 일차함수에서 양수를 빼는 값이 되므로, 함수의 그래프는 점근선 \(y=4-2x\) 아래에 그려진다.

\(x>0\) 이면 \(\dfrac{a}{x}\) 이 음수이기 때문에, 일차함수에서 음수를 빼는 값이 되므로, 함수의 그래프는 점근선 \(y=4-2x\) 위에 그려진다.

\(y = (4-2x) - \dfrac{a}{x}\) 의 그래프