도함수 활용 함수의 증가와 감소 분수함수 그래프

[문제]

함수 $f(x) = 4x - x^2 -a \ln x$ 가 구간 $(0, \infty)$ 에서 감소하도록 하는 상수 $a$ 의 최솟값은?

[풀이]

함수가 감소하기 위해선 미분계수가 $0$ 보다 작아야 한다. 따라서 구간 $(0,\infty)$ 에서 $f'(x) \leq 0$ 가 되는 $a$ 의 범위를 구하면 된다.

$$\begin{align*}f'(x) &= 4-2x-\dfrac{a}{x}\\ &= \dfrac{-2x^2+4x-a}{x}\end{align*}$$

이다. 구간 $x>0$ 에 대하여 $f'(x)\leq0$ 되기 위해선 분모 이차식 $-2x^2+4x-a \leq 0$ 이 되어야 한다.

$-2x^2+4x-a = -2(x-1)^2-a+2$ 이므로 $x=1$ 을 대칭 축으로 가진다. 따라서 이차식이 두개의 해를 가지면 $x=1$에 대칭이 되는 해를 가진다. 그러면 $x>0$ 구간에서 이차식이 양수가 되기 때문에, 이차식은 두개의 해를 가지면 안된다.

그러므로 판별식 $b^2-4ac = 16-8a \leq 0$ 이므로 $a \geq 2$

$y = (4-2x) - \dfrac{a}{x} = \dfrac{-2x^2+4x-a}{x}$ 의 그래프에 대해여 생각해보자.

주어진 함수 식이 분수식 이므로 함수의 그래프 개형은 분수함수 $y=\dfrac{k}{x}$ 와 비슷하다.

만약 $a = 0$ 이면

$y = (4-2x)$ 이므로 일차함수 이다.

$y = (4-2x) - \dfrac{a}{x}$ 의 그래프

만약 $a > 0$ 이면

$y = (4-2x)$ 일차함수에서 $y = \dfrac{a}{x}$ 분수함수의 빼기 이다. 또한 분수함수 이기 때문에 $x \neq 0$ 이므로 $x=0$ 과 $y=4-2x$ 을 점근선으로 가진다.

$x<0$ 이면 $\dfrac{a}{x}$ 이 음수이기 때문에, 일차함수에서 음수를 빼는 값이 되므로, 함수의 그래프는 점근선 $y=4-2x$ 위에 그려진다.

또한 $x>0$ 이면 $\dfrac{a}{x}$ 이 양수이기 때문에, 일차함수에서 양수를 빼는 값이 되므로, 함수의 그래프는 점근선 $y=4-2x$ 아래 그려진다.

만약 $a < 0$ 이고

$x<0$ 이면 $\dfrac{a}{x}$ 이 양수이기 때문에, 일차함수에서 양수를 빼는 값이 되므로, 함수의 그래프는 점근선 $y=4-2x$ 아래에 그려진다.

$x>0$ 이면 $\dfrac{a}{x}$ 이 음수이기 때문에, 일차함수에서 음수를 빼는 값이 되므로, 함수의 그래프는 점근선 $y=4-2x$ 위에 그려진다.

$y = (4-2x) - \dfrac{a}{x}$ 의 그래프