다항함수(절대값 함수) 적분법

다항함수 (절대값 함수) 적분법

[문제]

함수 \(y = x |x-1|\) 의 그래프와 직선 \(y = x\) 로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라.

[풀이]

절대값 정의에 의해

\(x - 1 \geq 0\) 이면, \(|x-1|=x-1\)

\(x - 1 < 0\) 이면, \(|x-1|=-(x-1)=-x+1\) 이다.

따라서,

\(x - 1 \geq 0\) 이면, \(y = x(x-1) = x^2 - x\)

\(x - 1 < 0\) 이면, \(y = -x(x-1) = -x^2 + x\) 이다.

\(x - 1 \geq 0\) 에서

\(y = x^2 - x\) 와 \(y = x\) 의 교점은 \(x^2 - x = x \Rightarrow x^2 - 2x = x(x-2) = 0\) 이므로 \(x=2\), \(y=2\) 이다.

\(x - 1 < 0\) 에서

\(y = -x^2 + x\) 와 \(y = x\) 의 교점은 \(-x^2 + x = x \Rightarrow -x^2 = 0\) 이므로 \(x=0\), \(y=0\) 이다. 또한 \(x = 0\) 에서 미분계수를 구하면, \(y' = (-x^2+x)'= -2x+1\) 이므로 \(1\) 이다. 따라서 \(y = -x^2 + x\) 와 \(y = x\)는 접한게 된다. 또한 \(x < 0\) 이면 미분계수는 \(1\) 보다 크고, \(x>0\) 미분계수는 \(1\) 보다 작다.

그러므로 함수 \(y = x |x-1|\) 의 그래프와 직선 \(y = x\) 로 둘러싸인 도형의 넓이는

\[\begin{align*} &\int_{0}^{1} x - (-x^2+x) dx + \int_{1}^{2} x - (x^2-x) dx \\=& \int_{0}^{1} x^2 dx + \int_{1}^{2} -x^2+2x dx \\=& \left( \left. \dfrac{1}{3} x^3 \right]^1_0 \right) + \left( \left. - \dfrac{1}{3} x^3 + x^2 \right]^2_1 \right) \\=& \left( \dfrac{1}{3} \right) + \left( - \dfrac{1}{3} 2^3 + 2^2 \right) - \left(- \dfrac{1}{3} + 1 \right) \\=& \dfrac{1}{3} - \dfrac{8}{3} + 4 + \dfrac{1}{3} - 1 = 1\end{align*}\]