접선의 방정식 (도함수 활용)

접선의 방정식(로그 함수)

문제

방정식 \(\ln x - x + 10 - n = 0\) 이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 자연수 \(n\) 의 개수를 구하여라.

풀이

\[\begin{align*}\ln x - x + 10 - n &= 0 \\\ln x &= x - 10 + n \\\end{align*}\]

\(f(x) = \ln x\), \(g(x) = x - 10 + n\) 라 하면 두 함수의 교점이 방정식의 해와 같다. \(g(x)\) 는 기울기 \(1\) 인 일차함수 이다.

\(f'(x) = \dfrac{1}{x}\) 이므로 \(x = 1\) 에서 \(f'(x) = 1\) 이다.

\(f(x) = \ln x\) 에 접하는 기울기 \(1\) 인 접선의 방정식을 구해보면,

접점은 \((1,0)\) 기울기는 \(1\) 이기 때문에 \(y = x + 1\) 이다. 따라서 \(f(x)\), \(g(x)\) 가 두점에서 만나기 위해서는 \(g(x)\)의 \(y\) 절편이 \(1\) 보다 작으면 된다.

따라서 \(-10 + n < 1 \Rightarrow n < 11\) 이다. \(n\) 은 자연수 이기 때문에 10개 이다.