수학을 배워보자!

수열의 극한 문제

[문제]수열 \(\{a_n\}\) 의 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합을 \(S_n\) 이라 할 때, \(S_n = \dfrac{6n}{n+1}\) 이다. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n+a_{n+1})\) 의 값은?[풀이]\[\begin{align*}a_n = S_n - S_{n-1}&=\dfrac{6n}{n+1}-\dfrac{6(n-1)}{n} \\ &= \dfrac{6n^2-6(n-1)(n+1)}{n(n+1)} = \dfrac{6n^2-(6n^2-6)}{n(n+1)} \\ &= \dfrac{6}{n(n+1)} = 6 \left( \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1} \right)\end{align*}\]\[\begin{align*}\sum\limits..