등비수열과 수학적귀납법 응용문제

[문제] 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 1\), \(a_2 = 2\), \(3a_{n+2} - 4a_{n+1} + a_n = 0 (n=1, 2, 3, \cdots)\) 으로 정의될 때, \(\dfrac{1}{5-2a_8}\) 의 값을 구하여라.

[풀이]

\(n = 1\), \(3a_{3} - 4a_{2} + a_1 = 3a_{3} - 4\times 2 + 1 = 3a_{3} - 7 = 0\)
따라서 \(a_3 = \dfrac{7}{3}\) 이다.

\(3a_{n+2} - 4a_{n+1} + a_n = 0\) 을 변형하면

\[\begin{align*}3a_{n+2} - 4a_{n+1} + a_n &= 3a_{n+2} - 3a_{n+1} - a_{n+1} + a_n \\ &= 3(a_{n+2} - a_{n+1}) - (a_{n+1} - a_n) = 0\end{align*}\]

이므로 \(3(a_{n+2} - a_{n+1}) = a_{n+1} - a_n, (n=1, 2, 3, \cdots)\) 이다.

\(a_{n+1} - a_n = b_n, (n=1, 2, 3, \cdots)\)라 하면

\(3b_{n+1} = b_n\) 이다. 따라서 수열 \(\{b_n\}\)은 첫항 \(b_1 = 1\) 공비가 \(\dfrac{1}{3}\)인 등비 수열이다.

\[\begin{align*}b_1 &= a_2 - a_1 \\b_2 &= a_3 - a_2 \\b_3 &= a_4 - a_3 \\\vdots &= \vdots \\b_7 &= a_8 - a_7 \\\end{align*}\]

등식의 좌변, 우변을 각각 더하면
\[\begin{align*}b_1 + b_2 + \cdots + b_7 &= a_8 - a_1 \\\sum\limits_{n=1}^{7} b_n = S_7 &= a_8 - a_1\end{align*}\]

\(b_n\) 는 등비수열 이므로 등비수열 합공식\(\left( \dfrac{a(1-r^n)}{1-r} \right)\)에 의해 \(S_7 = \dfrac{1(1-\frac{1}{3^7})}{1-\frac{1}{3}} = \dfrac{3}{2} \left(1-\dfrac{1}{3^7}\right)\)

\[\begin{align*}S_7 = \dfrac{3}{2} \left(1-\dfrac{1}{3^7}\right) &= a_8 - a_1 = a_8 - 1 \\\dfrac{3}{2} \left(1-\dfrac{1}{3^7}\right) &= a_8 -1 \\ a_8 &= \dfrac{3}{2} \left(1-\dfrac{1}{3^7}\right) + 1\end{align*}\]

따라서,
\[\begin{align*}\dfrac{1}{5-2a_8} &= \dfrac{1}{5-2\times \left(\frac{3}{2} \left(1-\frac{1}{3^7}\right) + 1\right)} \\&= \dfrac{1}{5-3 \left(1-\frac{1}{3^7}\right) - 2} \\&= \dfrac{1}{5-3+\frac{1}{3^6} - 2} \\&= \dfrac{1}{\frac{1}{3^6}} = 3^6 = 729 \\\end{align*}\]