방정식의 근과 계수의 관계

이차방정식 근과 계수의 관계

이차방정식 $a x^2 + b x + c = 0$ 의 두근을 $\alpha$, $\beta$ 라고 할때,

$$\begin{align*} \alpha + \beta &= - \dfrac{b}{a} \\\alpha \beta &= \dfrac{c}{a}\end{align*}$$

삼차방정식 근과 계수의 관계

삼차방정식 $a x^3 + b x^2 + c x + d = 0$ 의 두근을 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ 라고 할때,

$$\begin{align*} \alpha + \beta + \gamma &= - \dfrac{b}{a} \\\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha &= \dfrac{c}{a} \\\alpha \beta \gamma &= - \dfrac{d}{a}\end{align*}$$

예제

곡선 $y = 2 x^3 -12 x^2 + 20$ 과 직선 $y = kx$ 는 서로 다른 세 점에서 만나고 이 세 점의 $x$ 좌표가 등차수열을 이룬다고 한다. 이때 상수 $k$ 의 값을 구하여라.

[풀이] 곡선 $y = f(x)$ 와 직선 $y = g(x)$ 이 만나는 점을 찾기 위해선 $f(x) = g(x)$ 의 방정식 해를 찾으면 된다. 따라서,

$$\begin{align*} 2 x^3 -12 x^2 + 20 &= k x \\2 x^3 -12 x^2 - k x + 20 &= 0 \\\end{align*}$$

의 삼차방정식의 해가 곡선과 직선의 세 교점의 $x$ 좌표이다. $x$ 좌표가 등차수열을 이룬다고 했으므로, 세점을 $a - d$, $a$, $a + d$ 라 놓는다.

삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 세근의 합

$$\begin{align*} (a-d) + a + (a+d) &= - \dfrac{-12}{2} = 6 \\3 a &= 6 \\a &= 2\end{align*}$$

세 근의 곱

$$\begin{align*} (a-d) a (a+d) &= - \dfrac{20}{2} = - 10 \\a(a^2-d^2) &= - 10 \\ 2(4-d^2) &= - 10 \\ 4-d^2 &= - 5 \\ d^2 &= 9 \\ d &= \pm 3\end{align*}$$

따라서 세근은 $-1$, $2$, $5$ 이다. 근과 계수의 관계

$$\begin{align*} \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = -2 + 10 -5 &= \dfrac{-k}{2} \\3 &= \dfrac{-k}{2} \\k &= -6\end{align*}$$