수학을 배워보자!

도함수 활용 함수의 증가와 감소 분수함수 그래프

[문제]함수 $f(x) = 4x - x^2 -a \ln x$ 가 구간 $(0, \infty)$ 에서 감소하도록 하는 상수 $a$ 의 최솟값은?[풀이]함수가 감소하기 위해선 미분계수가 $0$ 보다 작아야 한다. 따라서 구간 $(0,\infty)$ 에서 $f'(x) \leq 0$ 가 되는 $a$ 의 범위를 구하면 된다. $$\begin{align*}f'(x) &= 4-2x-\dfrac{a}{x}\\ &= \dfrac{-2x^2+4x-a}{x}\end{align*}$$ 이다. 구간 $x>0$ 에 대하여 $f'(x)\leq0$ 되기 위해선 분모 이차식 $-2x^2+4x-a \leq 0$ 이 되어야 한다.$-2x^2+4x-a = -2(x-1)^2-a+2$ 이므로 $x=1$ ..