수학을 배워보자!

수열의 극한 문제

[문제]수열 $\{a_n\}$ 의 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합을 $S_n$ 이라 할 때, $S_n = \dfrac{6n}{n+1}$ 이다. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n+a_{n+1})$ 의 값은?[풀이] $$\begin{align*}a_n = S_n - S_{n-1}&=\dfrac{6n}{n+1}-\dfrac{6(n-1)}{n} \\ &= \dfrac{6n^2-6(n-1)(n+1)}{n(n+1)} = \dfrac{6n^2-(6n^2-6)}{n(n+1)} \\ &= \dfrac{6}{n(n+1)} = 6 \left( \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1} \right)\end{align*}$$ \[\begin{align*}\sum\limits..