2015 미적분 II 기출문제 01. 지수함수와 로그함수

2015 미적분 II 기출문제 정답률 20~60%

01. 지수함수와
로그함수

01

* 출처 : 2015년 11월 고2 전국연합 수학 가형
* 영역 : 미적분2 | 지수함수와 로그함수 | 지수함수와 로그함수의 미분 | 로그함수의 극한
* 정답률 : 39%

곡선 \(y=\ln (x+1)\) 위를 움직이는 점 \(P(a,b)\) 가 있다. 점 \(P\) 를 지나고 기울기가 \(-1\) 인 직선이 곡선 \(y=e^x-1\) 과 만나는 점을 \(Q\) 라 하자. 두 점 \(P\), \(Q\) 를 지름의 양 끝 점으로 하는 원의 넓이를 \(S(a)\), 원점 \(O\) 와 선분 \(PQ\) 의 중점을 지름의 양 끝 점으로 하는 원의 넓이를 \(T\) 라 할 때, \(\lim \limits_{n\rightarrow 0+} \frac{4T(a)-S(a)}{\pi a^2}\) 의 값은? (단, a > 0)

정답

\(\lim \limits_{n\rightarrow \infty} \frac{4T(a)-S(a)}{\pi a^2} = 2\)

02

* 출처 : 2015년 7월 고3 전국연합 수학 A형 
* 영역 : 미적분2 | 지수함수와 로그함수 | 로그함수 | 로그함수의 뜻과 그래프 
* 정답률 : 30%

그리과 같이 세 로그함수 \(f(x)=k \log x\), \(g(x)=k^2 \log x\), \(h(x)=4 k^2 \log x\)의 그래프가 있다. 점 \(P(2,0)\)을 지나고 \(y\)축에 평행한 직선이 두 곡선 \(y=g(x)\), \(y=h(x)\)와 만나는 점의 \(y\) 좌표를 각각 \(p\), \(q\)라 하자. 직선 \(y=p\)와 곡선 \(y=f(x)\)가 만나는 점을 \(Q(a,p)\), 직선 \(y=q\)와 곡선\(y=g(x)\)가 만나는 점을 \(R(b,q)\)라 하자. 세 점 \(P\), \(Q\), \(R\)가 한 직선 위에 있을 때, 두 실수 \(a\), \(b\)의 곱 \(ab\)의 값을 구하시오. (단, \(k>1\))

정답

\(ab=88\)

03

* 출처 : 2015년 3월 고3 전국연합 수학 A형 
* 영역 : 미적분2 | 지수함수와 로그함수 | 로그함수 | 로그함수의 뜻과 그래프 
* 정답률 : 56%

그림과 같이 직선 \(y=-x+a\)가 두 곡선 \(y=2^x\), \(y=\log_2 x\)와 만나는 점을 각각 \(A\), \(B\)라 하고, \(x\)축과 만나는 점을 \(C\)라 할 때, 점 \(A\), \(B\), \(C\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $AB:BC=3:1$
(나) 삼각형 $OBC$의 넓이는 $40$이다.

점A의 좌표를 \(A(p,q)\)라 할 때, \(p+q\)의 값은? (단, \(O\)는 원점이고, \(a\)는 상수이다.)

정답

\(p+q=20\)

004

* 출처 : 2015년 11월 고3 수능 수학A형     
* 영역 : 미적분2 | 지수함수와 로그함수 | 로그함수 | 로그함수의 실생활의 활용     
* 정답률 : 50%

어느 금융상품에 초기자산 \(W_0\)을 투자하고 \(t\)년이 지난시점에서의 기대자산 \(W\)가 다음과 같이 주어진다고 한다.

\(W = \dfrac{W_0}{2} 10^{at} (1 + 10^{at})\)

(단, \(W_0 > 0\), \(t \geq 0\)이고, \(a\)는 상수이다.)

이 금융상품에 초기자산 \(w_0\)을 투자하고 15년이 지난시점에서의 기대자산은 초기자산의 3배이다.이 금융상품에 초기자산 \(w_0\)을 투자하고 30년이 지난 시점에서의 기대자산이 초기자산의 \(k\)배 일 때, 실수 \(k\)의 값은? (단, \(w_0 > 0\))

정답

\(k=10\)

05

* 출처 : 2015년 4월 고3 전국연합 수학 A형 
* 영역 : 미적분2 | 지수함수와 로그함수 | 로그함수 | 로그함수의 뜻과 그래프 
* 정답률 : 45%

자연수 \(n\)에 대하여 그림과 같이 세 곡선 \(y=\log_2 x +1\), \(y=\log_2 x\), \(y=\log_2 (x-4^n)\)이 직선 \(y=n\)과 만나는 세 점을 각각 \(A_n\), \(B_n\), \(C_n\)이라 하자. 두 삼각형 \(A_n O B_n\), \(B_n O C_n\)의 넓이를 각각 \(S_n\), \(T_n\)이라 할 때, \(\dfrac{T_n}{S_n}=64\)를 만족시키는 \(n\)의 값을 구하시 오. (단, \(O\)는 원점이다.)

정답

\(n=5\)

06

* 출처 : 2015년 4월 고3 전국연합 수학 B형 
* 영역 : 미적분2 | 지수함수와 로그함수 | 지수함수와 로그함수의 미분 | 지수함수의 도함수 
* 정답률 : 32%

함수 \(f(x) = \begin{cases} (x-2)^2 e^x + k & (x\geq 0) \\ -x^2 & (x<0) \end{cases}\) 에 대하여 함수 \(g(x)=|f(x)|-f(x)\)가 만족하도록 하는 정수 \(k\)의 개수는?

(가) 함수 $g(x)$는 모든 실수에서 연속이다.
(나) 함수 $g(x)$는 미분가능하지 않은 점이 $2$개다. 

정답

\(k=3\)

C2-01-지수함수와 로그함수.pdf

[문제 출처: EBS모의고사 기출문제, 정답률: ETOOS(이투스)]