2015 미적분 II 기출문제 02. 삼각함수

2015 미적분 II 기출문제 정답률 20~60%

02. 삼각함수

01

* 출처 : 2015년 9월 고3 모의평가 수학 B형 
* 영역 : 미적분2 | 삼각함수 | 삼각함수 | 삼각함수의 그래프 
* 정답률 : 44% 

함수 \(f(x)\)를

\( f(x) = \begin{cases} |\sin x|-\sin x & ( \frac{-7}{2} \pi \leq x < 0 ) \\ \sin x-|\sin x| & ( 0 \leq x \leq \frac{7}{2} \pi ) \end{cases} \)

라 하자. 닫힌 구간 \(\left[-\frac{-7}{2} \pi, \frac{7}{2} \pi \right]\)에 속하는 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\int_a^x f(t) dt \geq 0 \)이 되도록 하는 실수 \(a\)의 최솟값을 \(\alpha\), 최댓값을 \(\beta\)라 할 때, \(\beta-\alpha\)의 값은?

정답

\(\beta-\alpha = \dfrac{\pi}{2}\)

02

* 출처 : 2015년 10월 고3 전국연합 수학 B형 
* 영역 : 미적분2 | 삼각함수 | 삼각함수의 미분 | 삼각함수의 덧셈정리 
* 정답률 : 44%

좌표평면에 함수 \(f(x)=\sqrt{3} \ln x\)의 그래프와 직선 \(l: y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}\)이 있다. 곡선 \(y=f(x)\) 위의 서로 다른 두 점 \(A(\alpha, f(\alpha))\), \(B(\beta, f(\beta))\)에서의 접선을 각각 \(m\), \(n\)이라 하자. 세 직선 \(l\), \(m\), \(n\)으로 둘러싸인 삼각형이 정삼각형일 때, \(6(\alpha+\beta)\)의 값을 구하시오.

정답

\(6(\alpha+\beta) = 32\)

03

* 출처 : 2015년 11월 고2 전국연합 수학 가형 
* 영역 : 미적분2 | 삼각함수 | 삼각함수의 미분 | 삼각함수의 덧셈정리 
* 정답률 : 58%

\(\sin \theta = \frac{4}{5}\)일 때, \(2 \sin \left( \theta-\frac{\pi}{3} \right)+\sqrt{3} \cos \theta\)의 값이 \(p\)이다. \(20p\)의 값을 구하시오.

정답

\(16\)

04

* 출처 : 2015년 3월 고3 전국연합 수학 B형 
* 영역 : 미적분2 | 삼각함수 | 삼각함수의 미분 | 삼각함수의 합성 
* 정답률 : 52%

함수 \(y=2\sin x+\cos x-1\)은 \(x=a\)에서 최댓값을 가질 때, \(30\sin 2a\)의 값을 구하시오.

정답

\(30\sin 2a = 24\)

05

* 출처 : 2015년 3월 고3 전국연합 수학 B형 
* 영역 : 미적분2 | 삼각함수 | 삼각함수 | 삼각함수의 성질 
* 정답률 : 54% 

실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수

\( f(x) = \sin^2 x + a \cos x \)

\( g(x) = \begin{cases} 0 & x<-\frac{\pi}{2} \\ bx & x \geq \pi \\ x & -\frac{\pi}{2} \leq x < \pi \end{cases} \)

에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?(단, \(a\), \(b\)는 실수이다.)

ㄱ. $\lim\limits_{x\to - \frac{\pi}{2}-0} g(x) =0$
ㄴ. $a=2$이면 합성함수 $(f \circ g)(x)$는 $x=-\frac{\pi}{2}$에서 연속이다.
ㄷ. $a$의 값에 관계없이 합성함수 $(f \circ g)(x)$가 $x=\pi$에서 연속이면 $b=2n-1$($n$은 정수)이다.

정답

ㄱ, ㄷ

06

* 출처 : 2015년 7월 고3 전국연합 수학 B형 
* 영역 : 미적분2 | 삼각함수 | 삼각함수의 미분 | 삼각함수의 덧셈정리 
* 정답률 : 49%

그림과 같이 반지름의 길이가 6이고중심각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{2}\)인 부채꼴 \(OAB\)가 있다. \(\angle COA=\theta\) \(\left( 0<\theta<\dfrac{\pi}{4} \right)\)가 되도록 호\(AB\) 위의 점 \(C\)를 잡고, 점 \(C\)에서의 접선이 변 \(OA\)의 연장선, 변 \(OB\)의 연장선과 만나는 점을 각각 \(P\), \(Q\)라 하자. \(\bar{PQ}=15\)일때, \(\tan 2\theta\)의 값은?

정답

\(\tan 2\theta=\dfrac{4}{3}\)

07

* 출처 : 2015년 7월 고3 전국연합 수학 B형 
* 영역 : 미적분2 | 삼각함수 | 삼각함수의 미분 | 삼각함수의 극한 
* 정답률 : 38%

그림과 같이 길이가 \(12\)인 선분 \(AB\)를 지름으로 하는 반원의호 \(AB\) 위에 \(\angle PAB=\theta\) \(\left( 0<\theta<\dfrac{\pi}{6} \right)\) 인 점 \(P\)가 있다. \(\angle APQ=3\theta\)가 되도록 선분 \(AB\) 위의 점 \(Q\)를 잡을 때, 두 선분 \(PQ\), \(QB\)와 호 \(BP\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S(\theta)\)라 하자. \(\lim\limits_{\theta \to +0} \dfrac{S(\theta)}{\theta}\)의 값을 구하시오.

정답

\(\lim\limits_{\theta \to +0} \dfrac{S(\theta)}{\theta}=18\)

08

* 출처 : 2015년 4월 고3 전국연합 수학 B형 
* 영역 : 미적분2 | 삼각함수 | 삼각함수 | 삼각함수의 성질 
* 정답률 : 56%

1보다 큰 실수 \(t\)에 대하여 그림과 같이 점 \(P\left( t+\dfrac{1}{t}, 0 \right)\) 에서 원 \(x^2+y^2=\dfrac{1}{2t^2}\)에 접섬을 그었을 때, 원과 접선이 제 1사분면에서 만나는 점을 \(Q\), 원 위의 점 \(\left( 0, -\dfrac{1}{\sqrt{2}t} \right)\)을 \(R\)라 하자. 다음 물음에 답하시오.

삼각형 \(ORQ\)의 넓이를 \(S(t)\)라 할 때, \(\lim\limits_{t \to \infty} \left\{ t^4 \times S(t) \right\}\)의 값은?

정답

\(\lim\limits_{t \to \infty} \left\{ t^4 \times S(t) \right\} = \dfrac{\sqrt{2}}{8}\)

09

* 출처 : 2015년 4월 고3 전국연합 수학 B형 
* 영역 : 미적분2 | 삼각함수 | 삼각함수의 미분 | 삼각함수의 극한 
* 정답률 : 50%

함수 \(f(x)\)에 대하여 \(\lim\limits_{x \to 0} f(x) \left( 1-\cos \dfrac{x}{2} \right)=1\)일 때, \(\lim\limits_{x \to 0} x^2 f(x)\)의 값을 구하시오.

정답

\(\lim\limits_{x \to 0} x^2 f(x)=8\)

10

* 출처 : 2015년 3월 고3 전국연합 수학 B형 
* 영역 : 미적분2 | 삼각함수 | 삼각함수의 미분 | 삼각함수의 극한 
* 정답률 : 32%

그림과 같이 중심이 \(A(3, 0)\)이고 점 \(B(6, 0)\)을 지나는 원이 있다. 이 원 위의 점 \(P\)를 지나는 두 직선 \(AP\), \(BP\)가 \(y\)축과 만나는 점 을 각각 \(Q\), \(R\)라 하자. \(\angle PBA=\theta\)라 하고, 삼각형 \(PQR\)의 넓이를 \(S(\theta)\)라 할 때, \(\lim\limits_{\theta \to +0} \dfrac{S(\theta)}{\theta^5}\)의 값을 구하시오. (단,\(0<\theta<\dfrac{\pi}{4}\))

정답

\(\lim\limits_{\theta \to +0} \dfrac{S(\theta)}{\theta^5}=18\)

11

* 출처 : 2015년 4월 고3 전국연합 수학 B형 
* 영역 : 미적분2 | 삼각함수 | 삼각함수의 미분 | 삼각함수의 합성 
* 정답률 : 51%

그림과 같이 원점 \(O\)로 부터의 거리가 \(1\)인 점 \(P\)에 대하여 선분 \(OP\)가 \(x\)축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 \(\theta\left( \dfrac{\pi}{4} < \theta < \dfrac{\pi}{2} \right)\)라 하자. 점 \(P\)에서 직선 \(y=x\)에 내린 수선의 발을 \(Q\)라 하고, 선분 \(PQ\)의 중점을 \(M\)이라 하자. 점 \(M\)의 \(y\)좌표가 최대 일때, \(\tan \theta\)의 값은?

정답

\(\tan \theta = 3\)

12

* 출처 : 2015년 11월 고2 전국연합 수학 가형 
* 영역 : 미적분2 | 삼각함수 | 삼각함수의 미분 | 삼각함수의 극한 
* 정답률 : 25%

그림과 같이 선분 \(AC\)의 길이가 \(2\)이고 \(\angle A=90^{\circ}\) 인 직각삼각형 \(ABC\)에 대하여 점 \(A\)에서 선분 \(BC\)에 내린 수선의 발을 \(D\)라 하고 \(\angle ACD=\theta\)라 하자. 삼각형 \(ABD\)에서 변 \(BD\)위에 지름이 놓여 있고 변\(AB\)에 접하면서 점 \(D\)를 지나는 반원의 넓이를 \(S(\theta)\), 삼각형 \(ADC\)에서 변 \(DC\) 위에 지름이 놓여 있고 변 \(AC\)에 접하면서 점 \(D\)를 지나는 반원의 넓이를 \(T(\theta)\)라 하자. \(\lim\limits_{\theta \to 0+} \dfrac{S(\theta)}{\theta^2 \times T(\theta)} =\alpha\) 일 때, \(60\alpha\)의 값을 구하시오. (단, 두 반원의 호는 점 \(D\)에서 만난다.)

정답

\(60\alpha=15\)

13

• 출처 : 2015년 6월 고3 모의평가 수학 B형
• 영역 : 미적분2 | 삼각함수 | 삼각함수의 미분 | 삼각함수의 극한
• 정답률 : 33%

그림과 같이 길이가 \(1\)인 선분 \(AB\)를 지름으로 하는 반원 위에점 \(C\)를 잡고 \(\angle BAC=\theta\)라 하자. 호 \(BC\)와 두 선분 \(AB\), \(AC\)에 동시에 접하는 원의 반지름의 길이를 \(f(\theta)\)라 할 때, \(\lim\limits_{\theta \to +0} \dfrac{\tan \dfrac{\theta}{2}-f(\theta)}{\theta^2}=\alpha\) 이다. \(100\alpha\)의 값을 구하시오.(단, \(0<\theta<\dfrac{\pi}{4}\))

정답

\(100\alpha=25\)

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