수학을 배워보자!

도함수 활용 함수의 증가와 감소 분수함수 그래프

[문제]함수 \(f(x) = 4x - x^2 -a \ln x\) 가 구간 \((0, \infty)\) 에서 감소하도록 하는 상수 \(a\) 의 최솟값은?[풀이]함수가 감소하기 위해선 미분계수가 \(0\) 보다 작아야 한다. 따라서 구간 \((0,\infty)\) 에서 \(f'(x) \leq 0\) 가 되는 \(a\) 의 범위를 구하면 된다.\[\begin{align*}f'(x) &= 4-2x-\dfrac{a}{x}\\ &= \dfrac{-2x^2+4x-a}{x}\end{align*}\]이다. 구간 \(x>0\) 에 대하여 \(f'(x)\leq0\) 되기 위해선 분모 이차식 \(-2x^2+4x-a \leq 0\) 이 되어야 한다.\(-2x^2+4x-a = -2(x-1)^2-a+2\) 이므로 \(x=1\) ..